· La fórmula del producto de un vector por el
vector 0 para el producto punto y cruz.
· La ley conmutativa del producto escalar.
· La ley distributiva del producto escalar y
producto cruz.
· Muestra la fórmula de la propiedad
anticonmutativa del producto vectorial.
· Presenta la fórmula del triple producto
escalar de tres vectores
Multiplicación de Vectores
En esta aportación presento
los teoremas (Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como
verdadera dentro de un marco lógico a la ves logra ser afirmación que puede ser
demostrada verdadera dentro de un marco lógico)
Definiendo tres vectores
unidad, en términos de los cuales todo vector puede expresarse de manera única.
Se define i, j, k por
i = (1,0,0) ; j = (0,1,0) ; k = (0,1,0) ;
Teorema: si a = (a1, A2, a3)
a = a1i + a2j + a3k
Inversamente, si a = a1i + a2j + a3k
a = (a1, A2,
a3)
El primer tipo de producto de
dos vectores a definir es el productos
punto o producto interno o escalar, denotado por a · b
a · b = a1bi +
a2b2+ a3b3
Teorema. El producto interno
satisface las siguientes reglas:
I.
a · b = b· a (ley conmutativa)
II.
a · (b+c) = a · b+ a · c (ley distributiva)
III.
(aa) · b = a(a · b) (ley
asociativa)
IV.
a · a = |a|
Los vectores especiales i, j, k satisfacen las siguientes
relaciones:
i · i = j · j = k · k = 1
i · j = j · k = k · i = 0
Teorema |a · b| £ |a| · |b| y la desigualdad se cumple si y
solo si uno de los vectores es un múltiplo escalar del otro.
(Léase la expresión anterior
el valor absoluto del producto punto de dos vectores a y b, es menor o a lo más
igual al valor absoluto de los vectores a
por b.)
Al demostrar esta
desigualdad, podemos saber que existe un único ángulo θ en {0 £ θ £ p}, se define este ángulo θ como el ángulo entre a y b.
Interpretando a · b geométricamente a · b = |a| · |b| cos θ =
la longitud de las proyecciones de a sobre b
La proyección de a · b se le
llama componentes de a en la dirección de
b
Usando el calculo vectorial
|a-b| 2 = (a-b) · (a-b) = |a| 2 + |b| 2
-2a · b
Por lo tanto
a · b = |a| · |b| cos θ
si a · b = 0 se
concluye que uno de los dos vectores es cero o bien que θ = p/2 en este caso se dice que los vectores son ortogonales o
perpendiculares.
Producto vectorial p producto
cruz a X b y se define por
a X b = (a2b3- a3b2, a3b2,a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1)
lo que podríamos rescribir
como
a X b = i(a2b3- a3b2) + j(a3b1 – a1b3) + k(a1b2 – a2b1)
A continuación establecemos
las propiedades elementales del producto cruz
Teorema
a)
a X b = -b X a
b)
a X (b+c) = a X b + a X c
c)
a X (ab) = aa X b = a (a X b)
d)
a X a = 0
e)
i X i = j X j = k X k = 0
f)
i X j = k, j X k = i, k X i = j
Teorema |a X b| = |a| |b| sen θ donde θ es el ángulo entre a y b
Por lo tanto a X b es un vector perpendicular al plano de a y b cuya magnitud es el
área del paralelogramo con lado a y b y cuya dirección esta dada por la regla
de la mano derecha.
El triple producto escalar
El triple producto escalar de a,
b y c es a · (b X c)
Teorema
1.-
|
a · b X c =
|
a1
|
a2
|
a3
|
|
b1
|
b2
|
b3
|
|
|
c1
|
c2
|
C3
|
2.- Cualquier permutación
cíclica a, b y c deja invariablemente el triple producto:
a
· b X c = b · c X a = a · b X c = c · a X b
3.- el intercambio del
producto interno y vectorial deja invariante al triple producto
a
· (b X c) = a X b · c
Teorema
a
X (b X c) = (a · c)b - (a
· b) c
(a X b) X c = (a · c)b - (b
· c) a
