Presentación
La invención del Cálculo en el último
cuarto del siglo XVII representa un hito en la historia de las matemáticas;
puede decirse con toda certeza que ahí inician las matemáticas modernas, pues
este acontecimiento dio origen al desarrollo de múltiples ramas de las
matemáticas, mantuvo prácticamente la exclusividad del trabajo de los
matemáticos durante un siglo, y aún los ocupa en sus múltiples ramificaciones y
aplicaciones. Antes del Cálculo, las matemáticas sólo servían para describir lo
fijo y estático, con él se pudo describir el movimiento y lo dinámico;
estableciendo una comparación, podría decirse que antes del Cálculo las
matemáticas sólo proporcionaban fotografías de la realidad, y después de él,
películas. Además de describir el movimiento, el Cálculo llegó para resolver y
unificar los problemas de cálculo de áreas y volúmenes, el trazo de tangentes a
curvas y la obtención de valores máximos y mínimos, proporcionando una
metodología general para la solución de todos estos problemas; también permitió
definir el concepto de continuidad y manejar procesos infinitos. El resultado fue
que el Cálculo y sus derivaciones pronto encontraron múltiples aplicaciones y
sirvieron para modelar procesos en todos los ámbitos científicos, empezando por
la física y las ciencias naturales, hasta llegar a las ciencias sociales. Por
todas estas razones, el conocimiento y manejo del Cálculo marca una diferencia cualitativa
muy importante en la formación de una persona y en su capacidad para utilizar la
matemática en otras ciencias y la ingeniería.
Siendo el Cálculo una disciplina
fundamental en la formación de ingenieros, técnicos y científicos, el problema
educativo que presentan o se impulsa a la búsqueda de estrategias y
metodologías, tanto disciplinarias como de carácter pedagógico, que permitan
asegurar estándares apropiados para poblaciones crecientes de estudiantes.
Los malos resultados que se presentan en el aprovechamiento y desempeño escolar
en los cursos de Cálculo se pueden considerar como producto de las dificultades
y características de los conceptos y métodos propios de esta rama de las
matemáticas y de la insuficiencia de profesores y recursos pedagógicos de apoyo
a su ense˜nanza y aprendizaje. Al masificarse la educación universitaria, la
homogenización de los niveles de formación en Cálculo Diferencial e Integral a nivel
universitario se presenta como uno de los grandes retos nacionales ante el
imperativo de estandarizar la calidad del sistema educativo y facilitar la integración
exitosa de los egresados a los mercados de profesionistas que soportan el
desarrollo económico y social.
El siglo XVII: Newton y Leibniz
El Cálculo Diferencial e Integral ha sido
reconocido como el instrumento más efectivo para la investigación científica
que jamás hayan producido las matemáticas. Concebido para el estudio del
cambio, el movimiento y la medición de áreas y volúmenes, el cálculo es la
invención que caracteriza la revolución científica del siglo XVII.
Su creación se debe al trabajo
independiente de dos matemáticos, el inglés Isaac Newton (1642-1727) y el
alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes publicaron sus
investigaciones entre los años de 1680 y 1690. Leibniz en 1684, en la revista
Acta Eruditorum, y Newton en 1687, en su gran obra Principia Matemática Philosophiae
Naturalis.
El cálculo se desarrolló a partir de las
técnicas infinitesimales utilizadas para resolver dos tipos de problemas: el
cálculo de áreas y volúmenes y el cálculo de tangentes a curvas. Arquímedes de
Siracusa (287 a.C.-212 a.C), desde tiempos antiguos, había realizado los
avances más significativos sobre esos problemas, aplicando el método exhaustivo
o de agotamiento para la determinación de áreas y volúmenes y obteniendo
importantes resultados sobre el cálculo de tangentes para ciertas curvas particulares.
En la primera mitad del siglo XVII, se renovó el interés por esos problemas
clásicos y varios matemáticos como Bonaventura Cavalieri (1598-1647), John
Wallis (1616-1703), Pierre de Fermat (1601-1665), Gilles de Roberval (1602-1675)
e Isaac Barrow (1630-1677), lograron avances que prepararon el camino para la
obra de Leibniz y Newton.
A partir de la utilización del método
cartesiano1 para sintetizar los resultados y técnicas desarrollados previamente
para el cálculo de áreas y tangentes de curvas, Newton y Leibniz inventaron los
métodos y algoritmos que hacen del cálculo una herramienta aplicable a clases
generales de problemas. Sus contribuciones en la creación del cálculo difieren
en origen, desarrollo e influencia y merecen ser tratadas separadamente.
Newton, hijo de granjeros, nació en
Lincolnshire, Inglaterra, en el día de Navidad de 1642 y llegó en 1669 a
ocupar, en la Universidad de Cambridge, la Cátedra Lucasiana como profesor de
matemáticas. En sus primeras investigaciones introdujo las series infinitas de
potencias en una variable x para reformular resultados previos de John Wallis y
bajo la influencia de su profesor Isaac Barrow utilizó infinitesimales para
mostrar la relación inversa entre el cálculo de áreas y el cálculo de
tangentes.
Las operaciones de derivación e
integración de funciones y su relación recíproca, emergen como un proceso analítico
que puede ser aplicado al estudio general de las curvas.
En la presentación de sus ideas, Newton
recurre a argumentos basados en el movimiento y la dinámica de los cuerpos. Así,
las variables son vistas como algo que cambia o fluye con el tiempo (fluente) y
a su derivada o razón de cambio con respecto al tiempo la llama su fluxión. El
problema básico del cálculo es, para Newton, el estudio de las relaciones entre
fluentes y sus fluxiones. En 1671, Newton concluye su tratado sobre el método
de fluxiones que no es publicado sino hasta 1736, casi diez años después de su
muerte, ocurrida en 1727.
En su libro Principios Matemáticos de la
Filosofía Natural, escrito en 1687, Newton estudia la dinámica de las partículas
y establece las bases matemáticas para el cálculo de razones de cambio mediante
una teoría geométrica de los límites. Utilizando estos conceptos, desarrolla su
teoría de gravitación y reformula las leyes de Kepler para el movimiento de los
cuerpos celestes. En su libro, Newton expresa magnitudes y razones de cambio en
términos de cantidades geométricas, tanto de tipo finito como infinitesimal,
tratando deliberadamente de evitar el uso del lenguaje algebraico. Esta
reticencia de Newton a usar los métodos algebraicos, limitó su influencia en el
campo de las matemáticas e hizo necesario reformular sus contribuciones en
términos del cálculo de Leibniz. G. W. Leibniz fue el hijo de un profesor de
filosofía y nació en la ciudad de Leipzig, Alemania, en 1646. Ingresó a la
universidad a la edad de quince años y obtuvo el doctorado en filosofía a la
edad de 21 años. El interés de Leibniz por las matemáticas nació en 1672
durante una visita a París, donde el matemático holandés Christiaan Huygens
(1629-1695) lo introdujo al estudio de la teoría de curvas. Después de varios años
de estudio bajo la dirección de Huygens, Leibniz investigó las relaciones entre
la suma y la diferencia de sucesiones infinitas de números y dedujo varias
fórmulas famosas.
Leibniz se interesó en las cuestiones de
lógica y de notación para la investigación formal, y su cálculo infinitesimal
es el ejemplo supremo, en todas las ciencias y las matemáticas, de un sistema
de notación y terminología perfectamente adaptado a su objeto de estudio. En el
sentido anterior, Leibniz formalizó, con su notación, las propiedades y reglas
fundamentales de los procesos de derivación e integración, haciendo de su
aplicación a los más variados problemas, un ejercicio de rutina que un estudiante
puede aprender desde sus primeros años. Su primera publicación sobre el cálculo
diferencial apareció en 1684, en el Acta Eruditorum, bajo el título Un nuevo método
para máximos y mínimos así como para el cálculo de tangentes que incluyen cantidades
tanto fraccionales como irracionales y un notable tipo de cálculo para todo
esto. En este artículo, Leibniz introduce la diferencial dx y las reglas
básicas del cálculo diferencial d(x + y) = dx + dy y d(xy) = xdy + ydx. Dos años
después, publica su segundo artículo Sobre una geometría oculta, donde
introduce y explica el significado del símbolo R de integración y aplica el
poder del cálculo para estudiar curvas trascendentes y deriva una fórmula analítica
para la cicloide.
El vigoroso empuje de Leibniz al estudio
y desarrollo del nuevo cálculo, el espíritu didáctico de sus escritos y su
habilidad para relacionarse con otros investigadores contribuyeron a fortalecer
su gran influencia en las matemáticas. Mantuvo una estrecha colaboración con
otros estudiosos de su época, incluyendo los hermanos Juan (1667-1748) y Jacobo
Bernoulli (1654-1705), quienes se convirtieron en los principales usuarios,
investigadores y promotores del nuevo método, Pierre Varignon y Guillaume
Fran¸cois Antoine de L’Hospital (1661-1704), este último, autor del primer
libro de texto de cálculo diferencial publicado, en 1696. En 1700, Leibniz convence
a Federico I de Prusia para crear la Academia de Ciencias de Brandenburgo (después
Real Academia de Berlín) de la cual será su presidente vitalicio. En contraste,
el aislamiento y la lentitud mostrada por Newton para difundir sus ideas y
descubrimientos redujo su presencia en las matemáticas europeas de ese tiempo y
aunque un buen número de matemáticos ingleses continuó desarrollando el
cálculo, su programa resultó inferior al desarrollado por Leibniz.
